Question

函數的反函數為f^-1（x），數列{a_n}和{b_n}滿足：，a_n+1=f^-1（a_n），函數y=f^-1（x）的圖象在點（n，f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列；的項中僅最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數，0＜x＜1．數列{x_n}滿足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的反函數．，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）由，知，所以y=f^-1（x）在點（n，f^-1（n））處的切線方程為，由此入手能求出λ的取值范圍．
（3）．所以，又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n．由此入手能夠證明．
解答：解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函數f（x）的反函數．
則，．
∴是以2為首項，1為公差的等差數列，故．（4分）

（2）∵，∴，
∴y=f^-1（x）在點（n，f^-1（n））處的切線方程為，
令x=0得．∴．
∵僅當n=5時取得最小值，∴．
∴λ的取值范圍為（9，11）（8分）

（3）．
所以，
又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n（10分）
顯然．
∴
∴
=（12分）
∵，∴，∴
∴（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．