Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的右焦點(diǎn)，且，設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，原點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)原點(diǎn)和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）存在滿足條件的直線，且其方程為.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的對(duì)稱性知，又原點(diǎn)到直線的距離為，得.又，，

故橢圓的方程為： 

（2）顯然當(dāng)與軸垂直時(shí)不可能滿足條件，

故設(shè)，代入橢圓方程得：

.

與橢圓于交于同的兩點(diǎn)，設(shè)，

.

，，

，即，

，

解得.

為不同的點(diǎn)，，故.

存在滿足條件的直線，且其方程為.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。（II）小題中，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積，“化證為算”，達(dá)到證明目的。