Question

已知函數(shù)，直線象的一條對(duì)稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長度得到，求函數(shù)g（x）在[0，]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)f（x）利用二倍角余弦公式和輔助角公式化簡，得f（x）=2sin（2ωx+），根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱軸方程的結(jié)論得是方程2ωx+=kπ+（k∈Z）的一個(gè)解，建立關(guān)于ω的方程，結(jié)合0＜ω＜1可得ω的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的公式，得到g（x）=f（），化簡得g（x）=2cos，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，不難得到g（x）在[0，]上的最大值．
解答：解：=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），
（1）∵直線是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸
∴是方程2ωx+=kπ+（k∈Z）的一個(gè)解，
即2ω•+=kπ+，得ω=（3k+1）
∵0＜ω＜1，取k=0，得ω=；
（2）y=f（x）圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=f（）的圖象
再將所得圖象向左平移個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=f（）的圖象，
∴g（x）=f（）=2sin[2••+]=2sin（+）=2cos，
∵0≤x≤，∴0≤≤，可得≤cos≤1
由此可得g（x）∈[，2]，在[0，]上的最大值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式，在已知一條對(duì)稱軸的情況下求參數(shù)的值，并求函數(shù)圖象變換后所得函數(shù)的最大值，著重考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性、三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)，屬于中檔題．