(2012•江西)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知A=
π
4
,bsin(
π
4
+C)-csin(
π
4
+B)=a,
(1)求證:B-C=
π
2

(2)若a=
2
,求△ABC的面積.
分析:(1)通過正弦定理以及浪跡花都三角函數(shù)化簡已知表達式,推出B-C的正弦函數(shù)值,然后說明B-C=
π
2

(2)利用a=
2
,通過正弦定理求出b,c,然后利用三角形的面積公式求△ABC的面積.
解答:解:(1)證明:由bsin(
π
4
+C)-csin(
π
4
+B
)=a,由正弦定理可得sinBsin(
π
4
+C)-sinCsin(
π
4
+B
)=sinA.
sinB(
2
2
sinC+
2
2
cosC
)-sinC(
2
2
sinB+
2
2
cosB
)=
2
2

整理得sinBcosC-cosBsinC=1,
即sin(B-C)=1,
由于0<B,C
4
,從而B-C=
π
2

(2)解:B+C=π-A=
4
,因此B=
8
,C=
π
8

由a=
2
,A=
π
4
,得b=
asinB
sinA
=2sin
8
,c=
asinC
sinA
=2sin
π
8
,
所以三角形的面積S=
1
2
bcsinA=
2
sin
8
sin
π
8
=
2
cos
π
8
sin
π
8
=
1
2
點評:本題考查三角形的解法,正弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查計算能力.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•江西)在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則
|PA|2+|PB|2
|PC|2
=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•江西模擬)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,(a1+a3)(a5+a7)=4
a
2
4
,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•江西模擬)已知在△ABC和點M滿足 
MA
+
MB
+
MC
=
0
,若存在實數(shù)m使得
AB
+
AC
=m
AM
成立,則m=
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•江西)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O.
(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的長;
(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.

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