【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,短軸長(zhǎng)為2,O為原點(diǎn),直線AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B,且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若在橢圓C上存在點(diǎn)R,使OPRQ為平行四邊形,求m的取值范圍.
【答案】
(1)解:短軸長(zhǎng)為2,可得b=1,
即有A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0,y0),
△AOF的面積是△BOF的面積的3倍,
即為 c1=3 c|y0|,
可得y0=﹣ ,由直線AF:y=﹣ +1經(jīng)過B,
可得x0= c,即B( c,﹣ ),代入橢圓方程可得,
+ =1,即為a2=2c2,即有a2=2b2=2,
則橢圓方程為 +y2=1
(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR,y1+y2=yR,
R在橢圓C上,可得 +(y1+y2)2=1,
即為 +(k(x1+x2)+2m)2=1,
化為(1+2k2)((x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2,①
由 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即為1+2k2>m2,②
x1+x2=﹣ ,代入①可得 ﹣ +8m2=2,
化為1+2k2=4m2,代入②可得m≠0,
又4m2=1+2k2≥1,解得m≥ 或m≤﹣ .
則m的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞)
【解析】(1)由題意可得b=1,A(0,1),設(shè)F(c,0),B(x0 , yspan>0),運(yùn)用三角形的面積公式可得y0=﹣ ,再由直線AF的方程經(jīng)過B,可得B的坐標(biāo),代入橢圓方程,解得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由OPRQ為平行四邊形,可得x1+x2=xR , y1+y2=yR , R在橢圓C上,代入橢圓方程,再由直線l與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,化簡(jiǎn)整理,解不等式即可得到所求m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校有120名教師,且年齡都在20歲到60歲之間,各年齡段人數(shù)按分組,其頻率分布直方圖如圖所示,學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn),培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試.已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如表示,假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的,結(jié)業(yè)考試成績(jī)也互不影響.
年齡分組 | A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù) | B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù) |
[20,30) | 30 | 18 |
[30,40) | 36 | 24 |
[40,50) | 12 | 9 |
[50,60] | 4 | 3 |
(1)若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本,求從年齡段[20,30)抽取的人數(shù);
(2)求全校教師的平均年齡;
(3)隨機(jī)從年齡段[20,30)和[30,40)內(nèi)各抽取1人,設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對(duì)稱,在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣.
(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中_________為真命題.
①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”; w ②“若x2+y2=0,則x,y全為0”的否命題;
③“全等三角形是相似三角形”的逆命題; ④“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的逆否命題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線 =1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn),若△F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為 ( )
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AC=1,PA=1,求圓心O到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),且.
(1)求的解析式;
(2)證明在區(qū)間上是增函數(shù);
(3)求不等式的解集.
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