Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)c_n=

bn

an

，n∈N^*
（Ⅰ）證明：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{lna_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{lna_n}，{lnb_n}的前n項和分別是S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求數(shù)列{c_n}的通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設(shè)d_n=

6cn

bn+1-4an+1-4an+2

，求數(shù)列{d_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知條件可設(shè)

an

an-1

=p，

bn

bn-1

=q，要證明數(shù)列c_n為等比數(shù)列只要證明

cn

cn-1

為非零常數(shù)；要證數(shù)列l(wèi)na_n為等差數(shù)列，只要證lnan-lnan-1=ln

an

an-1

為常數(shù)
（II）利用（I）的條件可知數(shù)列l(wèi)na_nlnb_n都為等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的和公式整理可得

Sn

Tn

=

n+ ln4-lnp lnp

lnq lnp •n+  2lnb1-lnq lnp

=

n

2n+1

，根據(jù)對應(yīng)項相等可得p、q、b₁，進(jìn)而求出a_n，b_n
（III）代入（II）中的條件整理可得dn=

1

4n-1

- 

1

4n+1-1

，用裂項求和的方法可得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}、b_n的公比分別為p、q（p＞0，q＞0），
則由題意可得

an

an-1

=p，

bn

bn-1

=q，
∴

cn

cn-1

=

an•bn

an-1•bn-1

= pq，c₁=a₁•b₁
所以數(shù)列c_n以a₁•b₁為首項，以pq為公比的等比數(shù)列
又因為lnan-lnan-1=ln

an

an-1

=lnp，
數(shù)列l(wèi)na_n以lna₁為首項，以lnp為公差的等差數(shù)列
（2）由題意可得sn=n•ln2+

n(n-1)

2

×lnp，Tn=n•lnb1+

n(n-1)

2

×lnq
∴

Sn

Tn

=

n•ln2+ n(n-1) 2 • lnp

n•lnb1+ n(n-1) 2 •lnq

=

2ln2+(n-1)•lnp

2lnb1+(n-1)•lnq

=

n

2n+1

∴

n•lnp+(ln4-lnp)

n•lnq+(2lnb1-lnq)

=

n+ ln4-lnp lnp

n• lnq lnp + 2lnb1-lnq lnp

=

n

2n+1

∴

ln4-lnp

lnp

=0，

lnq

lnp

=2，

2lnb1-lnq

lnp

=1
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=8•16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得dn=

6•cn

bn+1-4an+1-4an+2

=

6•4n

8•16n-8•4n-2•4n+2

=

3•4n

4•(4n)2-5•4n+1

=

3•4n

(4n-1)(4n+1-1)

=

1

4n-1

-

1

4n+1-1

∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
=

1

41-1

-

1

42-1

+

1

42-1

-

1

43-1

+…+

1

4n-1

-

1

4n+1-1

=

1

3

-

1

4n+1-1

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及判定，考查了等差數(shù)列前n項和公式的理解和運(yùn)用及數(shù)列求和中的裂項求和的方法，裂項后要注意相消的項及余下的項的規(guī)律．