Question

【題目】經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為x（2＜x＜14）元時(shí)，該商品的月供給量為y1噸，y1=ax﹣16（a≥8）；月需求量為y2噸 ．當(dāng)該商品的需求量不小于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量小于供給量時(shí)，銷(xiāo)售量等于需求量．該商品的月銷(xiāo)售額f（x）等于月銷(xiāo)售量與價(jià)格的乘積．

（1）若a=32，問(wèn)商品的價(jià)格為多少元時(shí)，該商品的月銷(xiāo)售額f（x）最大？

（2）記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格．若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸10元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） .

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的解析式，通過(guò)討論x的范圍以及函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值即可；

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)關(guān)于a的不等式組，解出即可．

試題解析：

（1）若a=32，由y2≥y1，得﹣x2﹣2x+224≥32x﹣16． 解得﹣40≤x≤6

因?yàn)?＜x＜14，所以2＜x≤6．設(shè)該商品的月銷(xiāo)售額為f（x），

則

①當(dāng)2＜x≤6時(shí)，f（x）=（32x﹣16）x，

所以f（x）max=f（6）=1056（元）．

②當(dāng)6＜x＜14時(shí)，f（x）=（﹣x2﹣2x+224）x，

則f'（x）=﹣3x2﹣4x+224=﹣（x﹣8）（3x+28），

由f'（x）＞0，得x＜8，由f′（x）＜0，解得：x＞8，

所以f（x）在（6，8）上是增函數(shù)，在（8，14）上是減函數(shù)，

當(dāng)x=8時(shí)，f（x）max=f（8）=1152（元）．　

因?yàn)?152＞1056，所以f（x）max=f（8）=1152元．

（2）設(shè)，

因?yàn)閍≥8，所以g（x）在區(qū)間（2，14）上是增函數(shù)，

若該商品的均衡價(jià)格不低于10元，

即函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，14）上有零點(diǎn)，

所以解得．

又因?yàn)閍≥8，所以8≤a≤12．