Question

6．某數(shù)學(xué)興趣小組舉行了一次趣味口答競(jìng)賽，共有5名同學(xué)參加．競(jìng)賽分兩個(gè)環(huán)節(jié)：搶答環(huán)節(jié)和抽答環(huán)節(jié)，其中搶答環(huán)節(jié)共有4道題，抽答環(huán)節(jié)僅有1道題．
（1）假設(shè)搶答環(huán)節(jié)每人搶答成功的概率均相等，則甲同學(xué)成功搶答2次的概率是$\frac{96}{625}$；
（2）已知搶答環(huán)節(jié)有3名同學(xué)成功搶答，抽答環(huán)節(jié)從裝有5名同學(xué)名簽的紙盒中隨機(jī)抽取：第一次采取有放回地抽取，若第一次抽到的是搶答成功的同學(xué)，則從第二次開始采取無放回地抽取，整個(gè)抽答環(huán)節(jié)抽到未搶答成功的同學(xué)即停止．那么抽取的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E（X）=2.2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算；
（2）求出所有X的取值對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)甲答對(duì)次數(shù)為ξ，則ξ～B（4，$\frac{1}{5}$）．
∴甲答對(duì)2次的概率為P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{5}$）²（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{96}{625}$．
（2）X的所有可能取值為1，2，3，4，5，
則P（X=1）=$\frac{2}{5}$，P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{25}$，P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}$=$\frac{9}{50}$，P（X=4）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{3}{25}$，P（X=5）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{2}$=$\frac{3}{50}$，
∴抽取的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{6}{25}$+3×$\frac{9}{50}$+4×$\frac{3}{25}$+5×$\frac{3}{50}$=2.2．
故答案為：（1）$\frac{96}{625}$，（2）2.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．