Question

如圖2所示，空間幾何體P-ABC中PA⊥平面ABC，AB⊥BC．PB、PC與平面ABC所成的角分別為60°和45°．AE⊥PB于E．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）求AC與平面PBC所成的角；
（3）求AC與PB所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件得到BC⊥平面PAB，進而可得結(jié)論；
（2）先結(jié)合第一問的結(jié)論得到AE⊥面PBC，進而得∠ACE為AC與平面PBC所成角；然后通過求三角形的邊長即可求出∠ACE得到結(jié)論．
（3）過B作，連AN、PN，得∠PBN等于AC與PB所成角（或補角）；然后通過求三角形的邊長即可求出結(jié)論．
解答：解：如圖，（1）PA⊥平面ABC⇒BC⊥AE
（2）連EC．
∵BC⊥AE，AE⊥PB于E
∴AE⊥面PBC
∴∠ACE為AC與平面PBC所成角．
設(shè)AC=a，由條件，
∴即∠ACE=30°．
∴AC與平面PBC所成角為30°．
（3）過B作，連AN、PN，
則∠PBN等于AC與PB所成角（或補角）．
由已知，設(shè)AC=a，則BN=．
則．
∵AC、PB為異面直線
∴AC、PB所成角為．
點評：本題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識．考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力．