Question

設(shè)多面體ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADE，其中△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)．若∠ADC=120°，AD=AB=2，CD=4，EF=3．
（1）求證：FG⊥平面ABCD；
（2）求二面角F-BD-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD邊中點(diǎn)H，利用面ADE⊥面ABCD，證明EH⊥面ABCD，連接GH，可證四邊形EFGH為平行四邊形，從而可得結(jié)論；
（2）解法一：先證明∠FBG為二面角F-BD-C的平面角，再在Rt△FGB中，可求二面角大小為30°；
解法二：建立空間坐標(biāo)系，確定面BDC的法向量，面BDF的法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)論．
解答：（1）證明：取AD邊中點(diǎn)H，在等腰直角三角形ADE中有EH⊥AD
又面ADE⊥面ABCD，∴EH⊥面ABCD，
連接GH，由于AB∥CD∥EF，且AB=2，CD=4
∴在梯形ABCD中，HG∥AB且HG=3，∴HG∥EF且HG=EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形
∴FG∥EH且FG=EH
∴FG⊥面ABCD…（5分）
（2）解法一：在梯形ABCD中，∠ADC=120°，∴∠DAB=60°
又AB=AD=2，∴∠ADB=60°且BD=2，
∴在△BDC中，BD=2，CD=4，∠BDC=60°，∴BD⊥BC，
又由（1）知FG⊥面ABCD，而FG?面FBC，∴面FBC⊥面ABCD
∴BD⊥面FBC，∴∠FBG為二面角F-BD-C的平面角．…（10分）
而在Rt△FGB中，，∴∠FBG=30°，∴所求二面角大小為30°…（12分）
解法二：建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，A（1，0，0），D（-1，0，0），E（0，0，1），，HG=3，∠DHG=60°，∴∴…（7分）
∴面BDC的法向量
令面BDF的法向量，則∴
令y=-1，∴，…（10分）  
記為θ，則，θ=30°
∴二面角大小為30°．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決空間角問(wèn)題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．