Question

有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人．則不同的安排方式共有

 

種（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析：法一：先安排上午的測試方法，有A₄⁴種，再安排下午的測試方式，由于上午的測試結(jié)果對下午有影響，故需要選定一位同學進行分類討論，得出下午的測試種數(shù)，再利用分步原理計算出結(jié)果
法二：假定沒有限制條件，無論是上午或者下午5個項目都可以選．組合總數(shù)為：4×5×4×4=320．再考慮限制條件：上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目．在總組合為320種的組合中，上午為握力的種類有32種；同樣下午為臺階的組合有32種．最后還要考慮那去掉的64種中重復去掉的，如A同學的一種組合，上午握力，下午臺階（這種是被去掉了2次），A同學上午臺階，下午握力（也被去掉了2次），這樣的情況還要考慮B．C．D三位，所以要回加2×4=8．進而可得答案．

解答：解法一：先安排4位同學參加上午的“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“臺階”測試，共有A₄⁴種不同安排方式；接下來安排下午的“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”測試，假設A、B、C同學上午分別安排的是“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”測試，若D同學選擇“握力”測試，安排A、B、C同學分別交叉測試，有2種；若D同學選擇“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”測試中的1種，有A₃¹種方式，安排A、B、C同學進行測試有3種；根據(jù)計數(shù)原理共有安排方式的種數(shù)為A₄⁴（2+A₃¹×3）=264，
故答案為264
解法二：假定沒有這個限制條件：上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目．無論是上午或者下午5個項目都可以選．上午每人有五種選法，下午每人僅有四種選法，上午的測試種數(shù)是4×5=20，下午的測試種數(shù)是4×4=16故我們可以很輕松的得出組合的總數(shù)：4×5×4×4=320．
再考慮這個限制條件：上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目．在總組合為320種的組合中，上午為握力的種類有多少種，很好算的，總數(shù)的

1

10

，32種；同樣下午為臺階的組合為多少的，也是總數(shù)的

1

10

，32種．所以320-32-32=256種．
但是最后還要考慮那去掉的64種中重復去掉的，好像A同學的一種組合，上午握力，下午臺階（這種是被去掉了2次），A同學上午臺階，下午握力（也被去掉了2次），這樣的情況還要B．C．D三位，所以要回加2×4=8．
所以最后的計算結(jié)果是4×5×4×4-32-32+8=264．
答案：264．
題考查了排列組合及其應用問題，關鍵是推理與分析的應用，以及分類討論思維等．

點評：本題主要考查了排列與組合的相關知識點，突出對分類討論思想和數(shù)學思維能力的考查，屬較難題．