Question

已知正實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比數(shù)列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c為等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)，求數(shù)列{an•xn-1}(x≠0)的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）利用正實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a+b+c=15，建立方程組，即可求b的值；
（II）（i）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a+b+c=15，即可求a，c的值；
（ii）確定數(shù)列的圖象，分類(lèi)討論，利用等差數(shù)列求和公式及錯(cuò)位相減法，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，得

a+b+c=15            (1) a+c=2b                 (2)

由（1）（2）兩式，解得b=5（4分）
（II）（i）因?yàn)閍+1，b+1，c+4成等比數(shù)列，
所以（a+1）（c+4）=（b+1）²（3）
由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a²-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2，c=8或a=11，c=-1（舍）
所以a=2，c=8（8分）
（ii）因?yàn)閍，b，c為等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)，
所以an=3n-1(n∈N*)
當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)列{an•xn-1}的前n項(xiàng)Sn=2+5+8+…+3n-1=

n(3n+1)

2

當(dāng)x≠1時(shí)，數(shù)列{an•xn-1}的前n項(xiàng)Sn=2+5x+8x2+…+(3n-1)xn-1①xSn=2x+5x2+8x3+…+(3n-4)xn-1+(3n-1)xn②
①-②：(1-x)Sn=2+3x+3x2+3x3+…+3xn-1-(3n-1)xn=2+3

x(1-xn-1)

1-x

-(3n-1)xn
所以Sn=

2+x-(3n+2)xn+(3n-1)xn+1

(1-x)2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．