Question

已知⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切，⊙M的方程為（x-8）²+（y-6）²=4，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）求⊙O的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）∵⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切
∴圓心到直線的距離等于半徑
∴⊙O的方程為x²+y²=10（4分）
（2）由題可知當直線PA過圓M的圓心（8，6）時，弦PQ最大
因為直線PA的斜率一定存在，設直線PA的方程為：y-6=k（x-8）
又因為PA與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線PA的距離為
即，可得k=
所以直線PA的方程為：x-3y+10=0或13x-9y-50=0 （10分）
（3）設∠AOP=α，則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α
∴cos∠AOB=2cos²α-1=-1
∴=cos∠AOB=
∵|OP|_max=10+2=12，|OP|_min=10-2=8
∴（）_max=-，（）_min=-（16分）
分析：（1）利用⊙O的圓心為原點，與直線x+3y+10=0相切，求出圓的半徑，從而可得⊙O的方程；
（2）由題可知當直線PA過圓M的圓心（8，6）時，弦PQ最大，從而可設直線PA的方程，利用PA與圓O相切，可得圓心（0，0）到直線PA的距離為，進而可求直線PA的方程；
（3）=cos∠AOB=，利用|OP|的最大與直線，可求求的最大值與最小值．
點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑是解題的關鍵．