Question

已知數(shù)列滿足：，且

（1）求通項(xiàng)公式

（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為S n，問(wèn)：是否存在正整數(shù)m、n，使得

若存在，請(qǐng)求出所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)（m,n），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】第一問(wèn)利用數(shù)列的遞推關(guān)系，我們可以得到當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，,然后利用遞推關(guān)系，求解得到數(shù)列的通項(xiàng)公式即可

第二問(wèn)中，利用前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系，我們借助于，

若存在正整數(shù)m、n，使得，

得到，借助于m的范圍，對(duì)其令值，然后解。

解：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，．

所以，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，． ……………2分

又，，所以，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；

…是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．        …………4分

所以，．          ………………………………6分

（2）由（1），得

，

．        ……………8分

所以，若存在正整數(shù)m、n，使得，則

． ……9分

顯然，當(dāng)m=1時(shí)，；

當(dāng)m=2時(shí)，由，整理得．

顯然，當(dāng)n=1時(shí)，不成立；

當(dāng)n=2時(shí)，成立，

所以(2,2)是符合條件的一個(gè)解．                  ……………11分

當(dāng)時(shí)，

……………12分

當(dāng)m=3時(shí)，由，整理得n=1，

所以(3,1)是符合條件的另一個(gè)解．

綜上所述，所有的符合條件的正整數(shù)對(duì)(m,n)，有且僅有(3,1)和(2,2)兩對(duì)． 14分

（注：如果僅寫出符合條件的正整數(shù)對(duì)(3,1)和(2,2)，而沒(méi)有敘述理由，每得到一組正確的解，給2分，共4分）