Question

（2013•宜賓二模）在平面直角坐標系xoy兩軸正方向有兩點A （a，0）、B（0，b）（a＞2，b＞2），線段AB和圓x²+y²-2x-2y+1=0相切，則△AOB的面積最小值為

3+2

2

．

Answer 1

分析：將圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑，由A與B坐標，表示出直線AB的解析式，根據(jù)線段AB和圓x²+y²-2x-2y+1=0相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，利用基本不等式求出ab的最小值，即可確定出三角形AOB面積的最小值．

解答：解：圓x²+y²-2x-2y+1=0化為標準方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心坐標為（1，1），半徑r=1，
根據(jù)題意，由平面直角坐標系xoy兩軸正方向有兩點A （a，0）、B（0，b）（a＞2，b＞2），
∴直線AB為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∵線段AB和圓x²+y²-2x-2y+1=0相切，
∴

|a+b-ab|

a2+b2

=1，即（a+b-ab）²=a²+b²，
整理得：a+b=

2+ab

2

≥2

ab

，當且僅當a=b時取等號，
變形得：（ab-6）²≥32，即ab-6≥4

2

或ab-6≤-4

2

（不合題意，舍去），
∴ab≥6+4

2

，即ab的最小值為3+2

2

，
∵S_△AOB=

1

2

ab，
則△AOB的面積最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解決的關(guān)鍵是利用直線與圓相切可知圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合三角形的面積公式得到．