Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q且.

（I）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；

（II）若以F₁,F₂為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn).

①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②過(guò)點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，

則，.

由，

得即，①                …………………2分

又在拋物線上，則，②

聯(lián)立①、②易得                              ……………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則   ③

    ④                                   …………………5分

將④代入③，解得或（舍去）                   

所以                                  ……………………6分

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                     ……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為

將直線的方程代入中得：.………………8分

設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：      ⑤

         ⑥                        …………………9分

因?yàn)?sub>，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以       ……………………………………………………………11分

因?yàn)?sub>，所以，

又，所以，

故

，

令，因?yàn)?sub>  所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.……………………………………………………13分

方法二：

1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，，

又，所以        …………8分

2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為

由得

    設(shè)，顯然，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：，            ……………………9分

          ⑤

    ⑥

因?yàn)?sub>，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得    ………………………………………10分

因?yàn)?sub>，所以，

又，

故

…………………11分

令，因?yàn)?sub>  所以，即，

所以.

所以                           ……………………12分

綜上所述：.