設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設(shè)過右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點，求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
．
（Ⅰ）依題意可得
2a=6
2
c
a
=
2
2
b2=a2-c2
解得a=3
2
，c=3，b=3
∴所求橢圓M的方程為
x2
18
+
y2
9
=1
（Ⅱ）當(dāng)θ≠
π
2
，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點F（3，0），則直線AB的方程為
y=k（x-3）有
y=kx-3k
x2
18
+
y2
9
=1
消去y得
（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0
設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）有x1+x2=2k21+2k2，x1x2=
18(k2-1)
1+2k2

|AB|=
(1+k2)[(
12k2
1+2k2
) 2-4×
18(k2-1)
1+2k2
]
=
6
2
(1+k2)
1+2k2

又因為k=tanθ=
sinθ
cosθ
代入上式得
|AB|=
6
2
1+sin2θ

當(dāng)θ=
π
2
時，直線AB的方程為x=3，此時|AB|=3
2

而當(dāng)θ=
π
2
時，AB|=
6
2
1+sin2θ
=3
2

綜上所述所以|AB|=|=
6
2
1+sin2θ
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設(shè)過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
；
（Ⅲ）設(shè)過右焦點F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，長軸長為6
2
，設(shè)過右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過右焦點F傾斜角為θ的直線交橢M于A，B兩點，求證|AB|=
6
2
1+sin2θ
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•包頭一模）設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為
2
3
3
．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點C為（-a，0），點P在橢圓M上（與A、C均不重合），點E在直線PC上，若直線PA的方程為y=kx-4，且
CP
•
BE
=0，試求直線BE的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-2
與x軸交于點A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O為坐標(biāo)原點）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右頂點和上頂點分別為A，B，直線AB與直線y=-x相交于點P，若點P在拋物線y2=-ax上，則橢圓M的離心率等于
3
2
3
2
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案