Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E，F(xiàn)分別為棱CC₁，BB₁的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-ABC的體積．
（2）求證：平面AFC∥平面B₁DE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三棱錐E-ABC的體積公式，即可得出結(jié)論；
（2）由E、F是CC₁、BB₁的中點(diǎn)，易得AF∥ED，CF∥B₁E，從而平面ACF∥面B₁DE．

解答： 解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點(diǎn)，
∴三棱錐E-ABC的體積為V=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

；
（2）證明：∵E、F是CC₁、BB₁的中點(diǎn)，∴CE平行且等于B₁F
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，
∴CF∥B₁E．
∵E，F(xiàn)是CC₁、BB₁的中點(diǎn)，∴EF平行且等于BC，
又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐E-ABC的體積和面面平行的判定定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．