Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（﹣1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于﹣ ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A（﹣1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1，﹣1）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）

化簡得x2+3y2=4（x≠±1）．

故動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）

（2）解：若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）

則 ．

因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN，

所以

所以 =

即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得

因?yàn)閤02+3y02=4，所以

故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）對于存在性問題可先假設(shè)存在，由面積公式得： ．根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的方程，解之即得．
【考點(diǎn)精析】掌握點(diǎn)到直線的距離公式是解答本題的根本，需要知道點(diǎn)到直線的距離為：．