Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．在數(shù)列{b_n}中，b_n=cos（a_n•π），n∈N^*．則b₂₀₀₈-b₂₀₀₉=

2

．

Answer 1

分析：首先我們知道當(dāng)m為偶數(shù)時，cos（mπ）=1； 而當(dāng)m為奇數(shù)時，cos（mπ）=-1．再根據(jù)數(shù)列{a_n}的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)為偶數(shù)而a₂₀₀₉為奇數(shù)，因此cos（a₂₀₀₈π）=1，且cos（a₂₀₀₉π）=-1
將此結(jié)果代入到{b_n}的表達(dá)式，則不難得到b₂₀₀₈-b₂₀₀₉的結(jié)果．

解答：解：a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．有如下規(guī)律：
當(dāng)n=4K，K∈N*時，必定是偶數(shù)，因此b_n=cos（a_n•π）=1，
而當(dāng)n=4K+1，K∈N*時，必定是奇數(shù)，因此b_n=cos（a_n•π）=-1，
而2008=4×502，2009=4×502+1，
因此b₂₀₀₈=1，b₂₀₀₉=-1
所以b₂₀₀₈-b₂₀₀₉═2
故答案為2

點(diǎn)評：本題以余弦三角函數(shù)為例，考查了數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．抓住余弦函數(shù)取值的規(guī)律，結(jié)合本題中數(shù)列項(xiàng)的奇偶數(shù)的特征，是解決本題的關(guān)鍵．