Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+3），當(dāng)x∈[4，6]時，f（x）=2^x+1，若f^-1（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的反函數(shù)，則f^-1（19）的值為（ ）
A．log₂15
B．3-2log₂3
C．5+log₂3
D．-1-2log₂3

Answer 1

【答案】分析：由f（x-1）=f（x+3）可確定函數(shù)周期，進(jìn)而由條件當(dāng)x∈[4，6]時，f（x）=2^x+1推導(dǎo)x∈[0，2]時f（x）解析式，并利用偶函數(shù)條件求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的解析式，并令x∈[-2，0]時f（x）=19，解出自變量x的值即為f^-1（19）的值．
解答：解：由f（x-1）=f（x+3）得f（x）=f（x+4），
所以函數(shù)周期為T=4，
所以x∈[0，2]時，x+4∈[4，6]，所以f（x）=f（x+4）=2^x+4+1，
又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以x∈[-2，0]時-x∈[0，2]，則f（x）=f（-x）=2^-x+4+1，
令f（x）=2^-x+4+1=19，解得
x=4-log₂18=3-2log₂3，
從而f^-1（19）=3-2log₂3
故選擇B
點評：本題主要考查函數(shù)的周期性和奇偶性，利用函數(shù)周期性和奇偶性，求函數(shù)解析式，并結(jié)合反函數(shù)知識考查了對數(shù)函數(shù)值的計算問題，難度較大．