Question

【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，如圖所示，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于，且與交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，四邊形和的面積分別為.求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何條件得橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形為菱形，其面積為， ，又在橢圓上，所以，解方程組得，

（2）先確定面積計(jì)算方法： ， ，再確定計(jì)算方向：設(shè)，根據(jù)

兩點(diǎn)間距離公式求，根據(jù)兩直線交點(diǎn)求點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，最后根據(jù)表達(dá)式形式，確定求最值方法（基本不等式求最值）

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，所以，

解得，所以橢圓的方程為

（2） 由（1）可知，設(shè)，

則當(dāng)時(shí)， ，所以，

直線的方程為，即，

由得，

則，

，

，

又，所以，

由，得，所以，

所以，

當(dāng)，直線， ， ， ， ，

所以當(dāng)時(shí)， .