Question

在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，對(duì)角線BD=，AC=，AC和BD所成的角是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：分別取BC、AD、CD、BD、AB中點(diǎn)E、F、G、H、I，連接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI，可得∠FGE、∠GHI（或其補(bǔ)角）分別是AC和BD、AD和BC所成的角．平行四邊形EGFI中，利用平方關(guān)系算出EF=1，從而在△FGE中得到GF²+GE²=EF²，得∠FGE=，即得異面直線AC和BD所成的角為．
解答：分別取BC、AD、CD、BD、AB中點(diǎn)E、F、G、H、I，
連接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中，GE是中位線，∴GE∥BD且GE=BD
同理可得FI∥BD且FI=BD
∴GE∥FI且GE=FI，得四邊形EGFI是平行四邊形
∵FG∥AC，GE∥BD
∴∠FGE（或其補(bǔ)角）是異面直線AC和BD所成的角
同理可得∠GHI（或其補(bǔ)角）是異面直線AD和BC所成的角
∵AD⊥BC，∴∠GHI=90°
∵GH=BC=，HI=AD=，∴GI==1
∵平行四邊形EGFI中，F(xiàn)I=GE=BD=，F(xiàn)G=EI=AC=
∴EF²+GI²=2（EI²+FI²），得EF²+1=2（+），解得EF=1
因此，GF²+GE²=1=EF²，可得∠FGE=
∴異面直線AC和BD所成的角為
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題在空間四邊形ABCD中，已知相對(duì)棱的長(zhǎng)度和所成角，并且知道對(duì)角線長(zhǎng)度的情況下求對(duì)角線所成角大小，著重考查了空間四邊形的性質(zhì)和異面直線所成角求法等知識(shí)，屬于中檔題．