Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）如果A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

4

5

，

12

13

，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的條件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知點(diǎn)C(-1，

3

)，求函數(shù)f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，直接求出cosα和sinβ的值．
（2）由題意判斷α，β范圍，求出cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．利用兩角差的余弦公式求解cos（β-α）的值．
（3）求出函數(shù)f(α)=

OA

•

OC

的表達(dá)式，f(α)=

OA

•

OC

=2sin(α-

π

6

)，根據(jù)α的范圍，確定函數(shù)的值域．

解答：解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是銳角，所以，cosα=

3

5

．（4分）
（2）由（1）知，sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是銳角，β是鈍角，
所以cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．
所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．（9分）
（3）由題意可知，

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
所以f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
因?yàn)?span id="ay4402c" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜α＜

π

2

，所以-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
所以函數(shù)f(α)=

OA

•

OC

的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-1，

3

)．（13分）

點(diǎn)評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，兩角和與差的余弦函數(shù)，考查計(jì)算能力，是中檔題．