Question

（2000•上海）如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos

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，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：建立如圖所示坐標(biāo)系，得A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的公式結(jié)合AD、BE所成角為arccos

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，解出BD的長(zhǎng)度是4，最后運(yùn)用錐體的體積公式即可算出四面體ABCD的體積．

解答：解：以BC、BA、BD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…（2分）
由題意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，z）（z＞0），
則

BE

=(1，1，0)，

AD

=(0，-2，z)…（6分）
∴

AD

•

BE

=

2

•

4+z2

cosθ=-2，
∵AD與BE所成的角的大小為arccos

10

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，可得cos2θ=

2

4+z2

=

1

10

，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的長(zhǎng)度是4，…（10分）
因此，三棱錐D-ABC的體積
VD-ABC=

1

3

S△ABC•BD=

1

6

AB•BC•BD=

1

6

×2×2×4=

8

3

，
即四面體ABCD的體積是

8

3

，…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊三棱錐，在已知異面直線所成角的基礎(chǔ)之上求錐體的體積．著重考查了利用空間坐標(biāo)系的方法研究異面直線所成角和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．