Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

36

+

y2

16

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|

PF1

|＞|

PF2

|．
（1）求|PF₁|的長(zhǎng)度；
（2）求

|PF1|

|PF2|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）對(duì)△PF₁F₂的內(nèi)角分類討論，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求出|PF₁|的長(zhǎng)度．
（2）利用（1）的結(jié)論和橢圓的定義即可得出．

解答： 解：由橢圓

x2

36

+

y2

16

=1，可得c=

a2-b2

=

36-16

=2

5

．
（1）∵|

PF1

|＞|

PF2

|，∴∠PF₁F₂不可能是直角．
若∠PF₂F₁是直角，則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，解得|PF₁|=

28

3

，
若∠F₁PF₂是直角，則|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，
即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，解得|PF₁|=8，
∴|PF₁|的長(zhǎng)度為

28

3

或8．
（2）若∠PF₂F₁是直角，由（1）可得|PF₁|=

28

3

，|PF₂|=2a-|PF₁|=12-

28

3

=

8

3

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

7

2

．
若∠F₁PF₂是直角，由（1）可得得|PF₁|=8，|PF₂|=2a-|PF₁|=12-8=4，
∴

|PF1|

|PF2|

=2，
綜上，

|PF1|

|PF2|

的值為2或

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想方法和計(jì)算能力，屬于中檔題．