Question

已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

分析：本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，即證明

1+b

a

，

1+a

b

不可能都不小于2，假設(shè)

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2得出2≥a+b，這與已知a+b＞2相矛盾，故假設(shè)不成立，以此來證明結(jié)論成立．

解答：證明：假設(shè)

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2（6分）
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）
即2≥a+b，這與已知a+b＞2
相矛盾，故假設(shè)不成立（12分）
綜上

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個(gè)小于2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想．相對(duì)于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法．其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用“正難則反”的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾．