Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過F₁的直線l：x-y+2=0與y軸交于點(diǎn)M，滿足|OM|=|OA|²（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且，直線l與直線l′：x-y+m=0（m＜0）之間的距離為$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
（1）求橢圓C的方程：
（2）在直線l′上是否存在點(diǎn)P，滿足|PF₁|=3|PF₂|？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，由直線l的方程可得c=2，求得M的坐標(biāo)，由條件可得b，進(jìn)而求出a，即有橢圓的方程；
（2）運(yùn)用兩直線平行的距離公式可得m，再由條件|PF₁|=3|PF₂|，將點(diǎn)P滿足的關(guān)系式列出，通過此關(guān)系式與已知圓C₂的方程聯(lián)系，再探求直線l'與圓的位置關(guān)系，即可判斷點(diǎn)P的存在性．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），上頂點(diǎn)為A（0，b），
由直線l：x-y+2=0，可得M（0，2），F(xiàn)₁（-2，0），即c=2，
由|OM|=|OA|²，可得b²=2，則a²=b²+c²=2+4=6，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線l與直線l′：x-y+m=0（m＜0）之間的距離為$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
即有d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，解得m=-$\frac{1}{2}$（$\frac{9}{2}$舍去），
則直線l'：y=x-$\frac{1}{2}$，
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)P（x，y），
由|PF₁|=3|PF₂|可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
兩邊平方，可得x²+y²-5x+4=0，
整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
此方程表示圓心（$\frac{5}{2}$，0），半徑是$\frac{3}{2}$的圓，
由圓心到直線l'的距離為$\frac{|\frac{5}{2}-0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
故直線l'與圓相交，即這樣的點(diǎn)P存在，且有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．