Question

8．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f（2016-x）=1，數列{a_n}中，a_n=f（n）（n∈N^•），則數列{a_n}的前2015項和S₂₀₁₅=（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 1008
• D． $\frac{2015}{2}$

Answer 1

分析 根據函數關系，利用倒序相加法進行求解即可．

解答 解：∵函數f（x）滿足f（x）+f（2016-x）=1，數列{a_n}中，a_n=f（n）（n∈N^•），
∴f（n）+f（2016-n）=1，
即a_n+a_2016-n=1，
則數列{a_n}的前2015項和S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅，
則S₂₀₁₅=a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+a₂₀₁₃+…+a₂+a₁，
兩式相加得2S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+a₂₀₁₃+…+a₂+a₁，
=（a₁+a₂₀₁₅）+（a₂+a₂₀₁₄）+…+（a₂₀₁₅+a₁）=1+1+…+1=2015，
則S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}$，
故選：D

點評 本題主要考查數列求和的計算，根據數列和函數的關系，利用倒序相加法進行求解是解決本題的關鍵．