Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
（Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，連PF，設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE∥DF，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC，則N點(diǎn)到AB的距離即為AP，N點(diǎn)到AP的距離即為AF．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE∥PB，
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角．
在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴cosEOA==．
即AC與PB所成角的余弦值為．
（Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF=．
連PF，則在Rt△ADF中DF==，AF=ADtanADF=．
設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．從而NE⊥面PAC．
∴N點(diǎn)到AB的距離=AP=1，N點(diǎn)到AP的距離=AF=．
點(diǎn)評：本題主要考查了異面直線的所成角，以及點(diǎn)到線的距離的計(jì)算，同時考查了空間想象能力、計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題．