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已知函數f(x)=ax2+bx+4lnx的極值點為1和2.
(1)求實數a,b的值;
(2)求函數f(x)在區(qū)間(0,3]上的最大值.
考點:利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的極值
專題:導數的綜合應用
分析:由導數的運算法則可得:f′(x)=2ax+b+
4
x
=
2ax2+bx+4
x
,x∈(0,+∞),
(1)由y=f(x)的極值點為1和2,可知2ax2+bx+4=0的兩根為1和2,利用根與系數的關系即可得出;
(2)由(1)得f(x)=x2-6x+4ln x,可得f′(x)=2x-6+
4
x
=
2x2-6x+4
x
=
2(x-1)(x-2)
x
,x∈(0,3].當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況列出表格即可得出.
解答: 解:f′(x)=2ax+b+
4
x
=
2ax2+bx+4
x
,x∈(0,+∞),
(1)∵y=f(x)的極值點為1和2,
∴2ax2+bx+4=0的兩根為1和2,
1+2=-
b
2a
1×2=
4
2a
,解得a=1,b=-6.
(2)由(1)得f(x)=x2-6x+4ln x,
∴f′(x)=2x-6+
4
x
=
2x2-6x+4
x
=
2(x-1)(x-2)
x
,x∈(0,3].
當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 單調遞增 -5 單調遞減 4ln 2-8 單調遞增 4ln 3-9
∵f(3)=4ln 3-9>f(1)=-5>f(2)=4ln2-8,
∴f(x)max=f(3)=4ln3-9.
點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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1
3
x3-
1
2
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π
3
,
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1
2
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