Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知（a₂-1）³+2014（a₂-1）=sin

2011π

3

，（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=cos

2011π

6

，則S₂₀₁₄=（　　）

• A、2014
• B、4028
• C、0
• D、2014

  3

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將兩個(gè)等式相加，利用立方和公式將得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₃的值，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出n項(xiàng)和．

解答： 解：（a₂-1）³+2014（a₂-1）=sin

2011π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=cos

2011π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-1）³+2014（a₂-1）+（a₂₀₁₃-1）³+2014（a₂₀₁₃-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₃-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₃-1）+（a₂₀₁₃-1）²]+2014（a₂-1+a₂₀₁₃-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₃-1=0，
即a₂+a₂₀₁₃=2，
∴S₂₀₁₄=

(a1+a2014)×2014

2

=1007×(a2+a2013)=1007×2=2014，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)條件求出a₂+a₂₀₁₃=2是解決本題的關(guān)鍵．