如圖,AB、CD都平行于平面α,AB=5,CD=3,AC,BD與α分別交于M,N兩點(diǎn),M為的AC中點(diǎn),則MN長的取值范圍是________.

(0,4]
分析:連接AD,取AD中點(diǎn)P,再連接NP、MP、MN,可以證出P、N分別為AD、BD的中點(diǎn),利用三角形中位線定理得MP=,PN=,在三角形MNP中利用兩邊之和大于第三邊,得則MN長的取值范圍是(0,4],問題得到解答.
解答:解:連接AD,取AD中點(diǎn)P,再連接NP、MP、MN,
∵CD∥平面α,CD?平面ACD,平面ACD∩平面α=MP
∴MP是△ACD的中位線
同理PN是△ABD的是位線
所以MP=,PN=,
在三角形MNP中,MN<MP+NP=4
當(dāng)P、M、N共線時,MN=MP+NP=4
所以0<MN≤4
故答案為(0,4]
點(diǎn)評:本題以三角形的中位線為基礎(chǔ),考查了空間點(diǎn)、線、面的距離有關(guān)的問題,屬于中檔題.靈活運(yùn)用三角形中位線定理和三角形兩邊之和大于第三邊,是解決本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側(cè)棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側(cè)面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當(dāng)BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在幾何體ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)。

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(2)求AB與平BDF所成角的大小。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市新龍中學(xué)高一(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側(cè)棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側(cè)面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當(dāng)BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市新龍中學(xué)高一(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側(cè)棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側(cè)面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當(dāng)BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年廣東省廣州89中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷(必修1、2)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知三棱錐A-BCD的底面是等邊三角形,三條側(cè)棱長都等于1,且∠BAC=30°,M,N分別在棱AC和AD上.
(1)將側(cè)面沿AB展開在同一個平面上,如圖②所示,求證:∠BAB′=90°.
(2)求BM+MN+NB的最小值.
(3)當(dāng)BM+MN+NB取得最小值時,證明:CD∥平面BMN

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