Question

一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量情況分為三類：A類、B類、C類．檢驗(yàn)員定時(shí)從該生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行一次抽檢，若發(fā)現(xiàn)其中含有C類產(chǎn)品或2件都是B類產(chǎn)品，就需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整．已知該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的每件產(chǎn)品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況互不影響．
（Ⅰ）求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；
（Ⅱ）若檢驗(yàn)員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)A_i表示事件“在一次抽檢中抽到的第i件產(chǎn)品為A類品”，i=1，2．
B_i表示事件“在一次抽檢中抽到的第i件產(chǎn)品為B類品”，i=1，2．
C表示事件“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整”．
則C=A₁•A₂+A₁•B₂+B₁•A₂．
由已知P（A_i）=0.9，P（B_i）=0.05 i=1，2．
∴所求的概率為P（C）=P（A₁•A₂）+P（A₁•B₂）+P（B₁•A₂）
=0.9²+2×0.9×0.05=0.9．

（Ⅱ）∵檢驗(yàn)員一天抽檢3次，
以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)則ξ的可能取值為0、1、2、3
由（Ⅰ）知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為
=1-0.9=0.1，
依題意知，
ξ的分布列為
Eξ=np=3×0.1=0.3．
分析：（1）在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整表示兩件都是A類產(chǎn)品或兩件中最多有一件B類產(chǎn)品，共包括三種情況，這三種結(jié)果是互斥的，而一次測(cè)的兩件產(chǎn)品質(zhì)量相互之間沒有影響．
（2）檢驗(yàn)員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則ξ的可能取值為0、1、2、3，由題意知ξ～B（3，0.1），寫出隨機(jī)變量的分布列和期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．