Question

已知函數(shù)f（x）=+alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．
（1）若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間[1，2]上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）α、β是函數(shù)H（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，α＜β，β∈（1，e]（e=2.71828…）．求證：對(duì)任意的x₁、x₂∈[α，β]，不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1成立．

Answer 1

【答案】分析：（1），，（由f（x），g（x）在區(qū)間[1，2]上都為單調(diào)函數(shù)，且它們的單調(diào)性相同，知，由（a+1）（a+x²）≥0，a≤-x²，（-x²）_min=-4，能導(dǎo)出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）由=，知x=1或x=a，由x²-（a+1）x+a=0有兩個(gè)不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，知α=1，β=a∈（1，e]，由此能得到不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1對(duì)任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．
解答：解：（1），
，
∵f（x），g（x）在區(qū)間[1，2]上都為單調(diào)函數(shù)，且它們的單調(diào)性相同，
∴，
∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x²）≥0，
-x²≤-1，∴a≤-x²或a＞-1（a≠-1），又（-x²）_min=-4，
∴a≤-4或a＞-1．
（2）∵=⇒x=1或x=a，
又∵x²-（a+1）x+a=0有兩個(gè)不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，∴當(dāng)x∈[α，β]時(shí)，H′（x）≤0，
∴H（x）在[α，β]上單調(diào)單調(diào)遞減，
∴H（x）_min=H（1），H（x）_max=H（β），
則對(duì)任意的x₁，x₂∈[α，β]，
|H（x₁）-H（x₂）|
=．
設(shè)f（a）=，則t′（a）=a-1-lna，
∵當(dāng)a∈（1，e]時(shí)，，∴t′（a）在（1，e]單調(diào)遞增，
∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]單調(diào)遞增，
∴，
∴不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1對(duì)任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用．