Question

已知曲線C:x²+y²+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;
(2)證明:曲線C過定點(diǎn);
(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.

Answer 1

(1)圓的圓心都在直線2x-y-5=0上. (2)曲線C過定點(diǎn)(1,-3). (3).

(1)原方程可化為(x+k)²+(y+2k+5)²=5(k+1)².
∵k≠-1,?
∴5(k+1)²>0.?
故方程表示圓心為(-k,-2k-5),
半徑為的圓.
設(shè)圓心為(x,y),有
消去k,得2x-y-5=0.?
∴這些圓的圓心都在直線2x-y-5=0上.
(2)將原方程變形成?
k(2x+4y+10)+(x²+y²+10y+20)=0.?
上式關(guān)于參數(shù)k是恒等式,?
∴
解得
∴曲線C過定點(diǎn)(1,-3).
(3)∵圓C與x軸相切,
∴圓心到x軸的距離等于半徑,
即|-2k-5|=|k+1|.?
兩邊平方,得(2k+5)²=5(k+1)².
∴.