Question

對于函數(shù)y=f（x）和其定義域的子集D，若存在常數(shù)M，使得對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，滿足等式，則稱M為f（x）在D上的均值．下列函數(shù)中以為其在（0，+∞）上的唯一均值的是    （填所有你認(rèn)為符合條件的函數(shù)的序號）①；         ②；         ③y=-x²+1；         ④y=log₂x．

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 成立的函數(shù)．
對于函數(shù)①，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證即可；
對于函數(shù)②，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數(shù)③y=-x²+1，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．
對于函數(shù)④y=log₂x，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．
解答：解：對于函數(shù)①；定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對于x₁=-1，f（x₁）=2．要使 成立，則f（x₂）=-1，不成立．
對于函數(shù)②，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的 x₂=，即可得到成立．故②對．
對于函數(shù)③y=-x²+1，取任意的x₁∈R，=，，可以兩個的x₂∈D．故不滿足條件．
對于函數(shù)④y=log₂x，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使 成立．故成立．
故答案為：②④
點(diǎn)評：此題主要應(yīng)用新定義的方式考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目．