Question

14．若過點P（a，b）（b≠a³-3a）可作曲線f（x）=x³-3x的切線恰有兩條，則（a-1）²+（b-2）²的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出切點，求出切點處的導(dǎo)函數(shù)即切線的斜率，據(jù)點斜式寫出切線的方程，將切點代入，列出關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，據(jù)題意此方程有兩個根，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出兩個極值，得到a，b的關(guān)系．進(jìn)行求解即可．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
過點點P（a，b）作曲線C的切線，設(shè)切點（x₀，f（x₀）），則切線方程為：y=（3x₀²-3）（x-a）+b，
將（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=（3x₀²-3）（x₀-a）+b=x₀³-3x₀，
即2x₀³-3ax₀²+3a+b=0（*）   
由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．
即2x₀³-3ax₀²+3a=-b
令u（x）=2x³-3ax²+3a，u′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
則a≠0時，有兩個極值點x=0與x=a，
于是u（0）=-b或u（a）=-b
當(dāng)u（0）=0時，3a=-b，即b=-3a，
當(dāng)u（a）=-b時，2a³-3a³+3a=-a³+3a=-b，
即b=a³-3a，與b≠a³-3a矛盾，
∴b=-3a，即3a+b=0
則（a-1）²+（b-2）²的幾何意義是直線3a+b=0上的點到定點M（1，2）的距離的平方，
則點M到直線的距離d=$\frac{|3+2|}{\sqrt{{3}^{2}+1}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$，
則（a-1）²+（b-2）²的最小值為d²=（$\frac{5}{\sqrt{10}}$）²=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率；求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．