Question

17．設f（x）=（m+1）x²-mx+m-1．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為R，求m的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，求m的取值范圍；
（3）解關于x的不等式f（x）-（m+4）x-m+5≥0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知m+1＞0，△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，求解即可；
（2）需對二次項系數(shù)分類討論：系數(shù)等于零，大于零和小于零．利用二次函數(shù)分別求解，最后求并集即可；
（3）不等式可整理為（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，對二次項系數(shù)分類，當為零時和不等于零時，然后利用因式分解判斷根，通過討論根的大小得出解集．

解答 解：（1）f（x）＞0的解集為R，
∴m+1＞0，
△=m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）若不等式f（x）＞0在[-1，1]上恒成立，
當m=-1時，顯然不成立，
∵f（1）=m，f（-1）=3m，
當m+1＞0時，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，$\frac{m}{2m+2}$＞1或$\frac{m}{2m+2}$＜-1，
∴無解；
當△＜0時，即m²-4（m+1）（m-1）＜0，
∴m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當m+1＜0時，只需
f（-1）＞0，f（1）＞0，
解得無解，
∴m的取值范圍為m＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）f（x）-（m+4）x-m+5≥0，
∴（m+1）x²-2（m+2）x+4≥0，
當m=-1時，x≤2；
當m≠-1時，
∴（x-2）（x-$\frac{2}{m+1}$）≥0，
∴當m=0時，x∈R，
當m＞0或m＜-1時，x＞2或x＜$\frac{2}{m+1}$，
當-1＜m＜0時，x＞$\frac{2}{m+1}$或x＜2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論，難點是對二次項系數(shù)的分類和對根大小的討論．