Question

三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，其展開(kāi)圖是一個(gè)直角梯形p₁p₂p₃A，如圖．
（1）求證：PB⊥AC
（2）求PB與面ABC所成角的大�。�
（3）（只理科做）求三棱錐P-ABC外接球的面積．

Answer 1

分析：（1）先證明BP⊥平面PAC，觀察展開(kāi)圖發(fā)現(xiàn)P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C，故BP⊥PC，BP⊥PA；再證明PB⊥AC，利用線面垂直的定義即可
（2）先求三棱錐的棱長(zhǎng)AP，AC，PC，利用展開(kāi)圖，再作出線面角的平面角，即作PO⊥平面ABC，連接BO交AC于D，連接PD，則∠PBO為PB與面ABC所成角，最后在△PAC中計(jì)算∠PBO即可
（3）先計(jì)算△PAC的外接圓直徑，利用平面幾何知識(shí)即可，再證明BM為球的直徑，設(shè)△PAC的外接圓圓心為Q，球心為O．連接PQ并延長(zhǎng)交球面于M，連BM，OQ，因?yàn)锽P⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，所以BP∥OQ，從而平面BPM是球的一個(gè)大圓，BM為球的直徑，最后在△BPM中計(jì)算球的直徑BM的長(zhǎng)，進(jìn)而求球的表面積

解答：解：（1）證明：由展開(kāi)圖知：P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C
∴BP⊥PC，BP⊥PA，∴BP⊥平面PAC
∵AC?平面PAC，∴PB⊥AC
（2）設(shè)PA=AC=AP₃=x，P₃C=y
作AE⊥CP₃，則E為CP₃的中點(diǎn)
∴x²-(

y

2

)2=16，且x=y+

y

2

，解得 x=3

2

，y=2

2

即PA=AC=3

2

，PC=2

2

作PO⊥平面ABC，連接BO交AC于D，連接PD
∴∠PBO為PB與面ABC所成角
∵BP⊥平面PAC，易證AC⊥BD，AC⊥PD
在△PAC中，

1

2

×2

2

×4=

1

2

×3

2

×PD
∴PD=

8

3

∴tan∠PBO=

PD

PB

=

4

3

，
∴∠PBO=arctan

4

3

（3）設(shè)△PAC的外接圓圓心為Q，球心為O．連接PQ并延長(zhǎng)交球面于M，連BM，OQ
∵BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，∴BP∥OQ
∴平面BPM是球的一個(gè)大圓
在△BPM中，BP=2，PM=

9

2

∴BM=

22+( 9 2 )2

=

97

2

，∴球半徑R=

97

4

∴球的表面積S=4πR²=

97π

4

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了立體幾何中的折疊問(wèn)題，直線與平面所成的角的求法，三棱錐的外接球的半徑的求法等知識(shí)和技能，解題時(shí)要具有較強(qiáng)的空間想象能力，熟練地將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題加以解決