Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），可得f（x）在處取得極小值．由已知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得，解得a即可．
（II）由（I）可知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=在[1，+∞），可得當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＞f（1）=0，即．取（n≥2），解出x，利用累加求和和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．
解答：解：==（x＞-1）．
∴f（x）在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)．
∴f（x）在處取得極小值．
（I）由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴，解得a≥1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；
（II）由（I）可知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=在[1，+∞），
∴當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＞f（1）=0，即．
取（n≥2），則，，
即當(dāng)n≥2時(shí)，（n≥2）．
∴+…+=lnn．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、累加求和是解題的關(guān)鍵．