Question

【題目】已知圓A：（x+2）2+y2=1，圓B：（x﹣2）2+y2=49，動圓P與圓A，圓B均相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）已知點N（2， ），作射線AN，與“P點 軌跡”交于另一點M，求△MNB的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓A：（x+2）2+y2=1，圓B：（x﹣2）2+y2=49，動圓P與圓A，圓B均相切，

∴圓A的圓心A（﹣2，0），半徑R1=1，圓B的圓心B（2，0），半徑R2=7，

設動圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內含于圓B，

當動圓P與圓A外切，與圓B內切時，有|PA|=r+1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=8＞|AB|=4，

由橢圓定義知：動點P是以A，B為焦點的橢圓，其方程為 ．

當動圓P與圓A內切，與圓B內切時，有|PA|=r﹣1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，

由橢圓定義知：動點P是以A，B為焦點的橢圓，其方程為 ．

綜上可知，動點P的軌跡方程為： 或

（2）解：由題意N點在橢圓 上，A，B是兩橢圓 和 的公共焦點，

由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，

兩式相減得：|MN|+|MB|﹣|NB|=2，而 ，

故△MNB周長等于

【解析】（1）設動圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內含于圓B，當動圓P與圓A外切，與圓B內切時，動點P是以A，B為焦點的橢圓；當動圓P與圓A內切，與圓B內切時，動點P是以A，B為焦點的橢圓．由此能求出動點P的軌跡方程．（2）由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，由此能求出△MNB周長．