Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）記，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)，可得=，從而可得數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，等價(jià)于對(duì)任意n∈N^*恒成立在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，可求右邊函數(shù)的最小值，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125349077057145/SYS201310251253490770571021_DA/7.png">=，為了證明結(jié)論，首先猜想并證明，利用，即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴=，
∴
∵
∴數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴；
（Ⅱ）∵，∴
∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∴對(duì)任意n∈N^*恒成立
∵在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴
∴
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是；
（Ⅲ）∵=，
猜想
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，左邊==右邊；n=2時(shí)，左邊=，右邊=，左邊＞右邊；
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即
則n=k+1時(shí)，左邊=
=右邊
由①②知，猜想成立
又
∴
∴
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，及數(shù)列的特殊性，第（Ⅲ）難度較大．