Question

20．已知函數(shù)g（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，通過討論根與區(qū)間[1，e]的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)閤＞0
（1）將a=1代入f（x）得f（x）=x²-3x+lnx
所以f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$
令f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）+a}{x}$
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$（舍）或x=a，
當(dāng)a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)遞增
所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f（x）在[1，a]單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
當(dāng)a≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值關(guān)系，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．