Question

已知函數(shù)f（x）=（m+1）x²-（m-1）x+m-1
（1）若不等式f（x）＜1的解集為R，求m的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0對一切x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對二次項系數(shù)m+1的情況分類討論，由不等式f（x）＜1的解集為R，可得

m+1＜0 △=(m-1)2-4(m+1)(m-2)＜0

，解之即可求得m的取值范圍；
（2）f（x）≥（m+1）x?[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0，對m+1=0，m+1＞0與m+1＜0分類討論，可分別求得其解集；
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0?m（x²-x+1）≥-x²-x+1?m≥

-x2-x+1

x2-x+1

，通過分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）①當(dāng)m+1=0即m=-1時，f（x）=2x-3，不合題意；  …（1分）
②當(dāng)m+1≠0即m≠-1時，

m+1＜0 △=(m-1)2-4(m+1)(m-2)＜0

，即

m＜-1 3m2-2m-9＞0

，…（3分）
∴

m＜-1 m＜ 1-2 7 3 或m＞ 1+2 7 3

，
∴m＜

1-2 7

3

…（5分）
（2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x²-2mx+m-1≥0
即[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0
①當(dāng)m+1=0即m=-1時，解集為{x|x≥1}…（7分）
②當(dāng)m+1＞0即m＞-1時，（x-

m-1

m+1

）（x-1）≥0，
∵

m-1

m+1

=1-

2

m+1

＜1，
∴解集為{x|x≤

m-1

m+1

或x≥1}…（9分）
③當(dāng)m+1＜0即m＜-1時，（x-

m-1

m+1

）（x-1）≥0，
∵

m-1

m+1

=1-

2

m+1

＞1，
∴解集為{x|x≥

m-1

m+1

或x≤1}…（…（11分）
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0，即m（x²-x+1）≥-x²-x+1，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴m≥

-x2-x+1

x2-x+1

=-1+

2(1-x)

x2-x+1

…（13分）
設(shè)1-x=t，則t∈[

1

2

，

3

2

]，x=1-t，
∴

1-x

x2-x+1

=

t

(1-t)2-(1-t)+1

=

t

t2-t+1

=

1

t+ 1 t -1

，
∵t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號，
∴

1-x

x2-x+1

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，
∴當(dāng)x=0時，(

-x2-x+1

x2-x+1

)max=1，
∴m≥1…（16分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，突出分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想及比較大小方法的綜合應(yīng)用，屬于難題．