Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=

3

，AD=1，M是線段AD的中點．
（1）試過M點作出與平面A₁B₁CD平行的直線l，說明理由，并證明：l⊥平面AA₁D₁D；
（2）若（1）中的直線l交直線AC于點N，且二面角A-A₁N-M的余弦值為

15

5

，求AA₁的長．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）在平面ABCD內(nèi)過M點作直線l∥CD，此時l滿足l∥平面A₁B₁CD，由線面平行的判定定理可說明理由，進而結合長方體的幾何特征和線面垂直的判定定理，可得l⊥平面AA₁D₁D；
（2）設AA₁=h，建立空間直角坐標系，分別求出平面AA₁N的一個法向量和平面A₁MN的一個法向量，代入向量夾角公式，結合二面角A-A₁N-M的余弦值為

15

5

，構造關于h的方程，解方程可得答案．

解答： 解：（1）在平面ABCD內(nèi)過M點作直線l∥CD，
此時l滿足l∥平面A₁B₁CD，理由如下：
∵l∥CD，l?平面A₁B₁CD，CD?平面A₁B₁CD，
∴l(xiāng)∥平面A₁B₁CD，
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
CD⊥AD，CD⊥DD₁，
又∵AD∩DD₁=D，AD，DD₁?平面AA₁D₁D，
∴CD⊥平面AA₁D₁D
又∵l∥CD，
∴l(xiāng)⊥平面AA₁D₁D；
（2）由（1）中，l∥CD，M是線段AD的中點．
可得N為直線AC的中點，
設AA₁=h，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A₁（0，0，0），A（0，0，h），N（

3

2

，

1

2

，h），M（0，

1

2

，h），
∴

A1A

=（0，0，h），

A1N

=（

3

2

，

1

2

，h），

A1M

=（0，

1

2

，h），
設平面AA₁N的一個法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • A1A =0 m • A1N =0

．即

hz=0 3 2 x+ 1 2 y+hz=0

，
令x=1，則

m

=（1，-

3

，0）

設平面A₁MN的一個法向量為

n

=（a，b，c），
則

n • A1M =0 m • A1N =0

，即

1 2 b+hc=0 3 2 a+ 1 2 b+hc=0

，
令c=1，則

n

=（0，-2h，1），
∵二面角A-A₁N-M的余弦值為

15

5

，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2 3 h

2 1+4h2

=

15

5

，
解得h=1．
即求AA₁=1

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何，直線與平面平行的判斷，建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．