Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)是2，點(diǎn)E、F分別是兩條棱的中點(diǎn)
（1）證明：四邊形EFBD是一個(gè)梯形；
（2）求三棱臺(tái)CBD-C₁FE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用梯形定義證明，EF∥BD，顯然DE、BF不平行；
（2）利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算，分別計(jì)算上下底面積，CC₁為高．

解答： （1）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)E、F分別是兩條棱的中點(diǎn)，
∴EF∥B₁D₁，由B₁D₁∥BD，∴EF∥BD，顯然DE、BF不平行，
∴四邊形EFBD是一個(gè)梯形；
（2）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)是2，點(diǎn)E、F分別是兩條棱的中點(diǎn)，
∴C₁E=C₁F=1，S△C1EF=

1

2

C₁E×C₁F=

1

2

S_△CBD=

1

2

×CB×CD=2，CC₁=2，
V_CBD-C1FE=

1

3

(S+

SS′

+S′)h=

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線平行，及棱臺(tái)的體積計(jì)算，掌握基本定理及公式是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．