Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的圖象是否是中心對(duì)稱(chēng)圖形？若是，求出對(duì)稱(chēng)中心；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）設(shè)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.

Answer 1

【答案】（1）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為：；（2）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，通過(guò)奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而可得的對(duì)稱(chēng)中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個(gè)解，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解的個(gè)數(shù)的討論，即的解的個(gè)數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個(gè)數(shù)，從而得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合得到結(jié)果.

（1） 設(shè) 定義域?yàn)椋?/span>

為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)

的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為：

（2）令

，可知為其中一個(gè)解，即為一個(gè)零點(diǎn)

只需討論的解的個(gè)數(shù)即可

①當(dāng)時(shí)，無(wú)解

有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí) ， 為方程的解

有，共個(gè)零點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，

（i）若，即時(shí)，

為方程的解

有，共個(gè)零點(diǎn)

（ii）若，即時(shí)，的解為：

有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

（iii）若，即時(shí)，，方程無(wú)解

有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)