Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），點(diǎn)P（0，p）在線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）若BE⊥AC，求證CF⊥AB；
（2）若O、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，求證F也是AB的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B和P的坐標(biāo)求出直線BP的斜率，同理根據(jù)A和C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，因?yàn)閮芍本�垂直得到斜率乘積為-1，令兩斜率相乘等于-1得到一個(gè)關(guān)系式pa=-bc；然后根據(jù)P和C的坐標(biāo)求出直線PC 的斜率，根據(jù)A和B的坐標(biāo)求出直線AB的斜率，把兩斜率相乘后，把求得的關(guān)系式代入即可得到乘積為-1，得到CF垂直于AB，得證；
（2）由O是BC的中點(diǎn)且PO垂直于BC，得到直線PO為線段BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知：|PB|=|PC|，且|AB|=|AC|，根據(jù)等邊對(duì)等角得到角PBC等于角PCB，且角ABC等于角ACB，兩等式相減得到角ABP等于角ACF，又根據(jù)對(duì)頂角相等得到三角形PFB與三角形PEC全等，得到|FB|等于|EC|，所以得到|FB|等于|AB|的一半，得證．

解答：證明：（1）根據(jù)點(diǎn)B（b，0）和點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，p）寫(xiě)出直線BP的斜率為-

p

b

，
由點(diǎn)A（0，a）和C（c，0）寫(xiě)出直線AC的斜率為-

a

c

，
因?yàn)锽E⊥AC，所以（-

p

b

）（-

a

c

）=-1，即pa=-bc；
而由C（c，0）和P（0，p）斜率為-

p

c

，由A（0，a）和B（b，0）斜率為-

a

b

，
則斜率之積為（-

p

c

）（-

a

b

）=

pa

bc

=

pa

-pa

=-1，所以CF⊥AB；
（2）因?yàn)镺為線段BC的中點(diǎn)，且PO⊥BC，所以O(shè)P為線段BC的垂直平分線，
∴|BP|=|CP|，且|AB|=|AC|，
∴∠PBO=∠PCO，且∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
又∠FPB=∠EPC，
∴△BPF≌△CPE，
∴|BF|=|CE|，
又E是線段AC的中點(diǎn)，所以|CE|=

1

2

|AC|，
則|BF|=

1

2

|AB|，所以F為線段AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率所滿足的關(guān)系以及會(huì)根據(jù)斜率乘積為-1得到兩直線垂直，靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形全等解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合題．