Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+4x+3
（1）若g（x）=f（x）+cx為偶函數(shù)，求c
（2）利用單調性定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得g（-x）=g（x），代入可求c；
（2）由（1）可得f（x），利用單調性的定義，要證明數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)，只要當-2≤x₁＜x₂ 時有f（x₂）＞f（x₁）即可故由已證f（x）在[-2，+∞）單調遞增．

解答 解：（1）∵g（x）=f（x）+cx=x²+（4+c）x+3為偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），
∴（-x）²+（4+c）（-x）+3=x²+（4+c）x+3，
∴4+c=-（4+c）     
∴c=-4                   
（2）證明：設-2≤x₁＜x₂ 
則f（x₂）-f（x₁）=x22+4x2+3-x12-4x1-3
=（x₁+x₂）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）…（8分）
∵-2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂+4＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[-2，+∞）單調遞增．

點評 本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應用，函數(shù)的單調性的定義在證明（判斷）函數(shù)的單調性中的應用，屬于基本知識的簡單的應用．